Giải phương trình $\sin^m x+\cos^n x=1$

Phương trình $ \sin^m x + \cos^n x=1$

Giải phương trình $\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=2\cos x−1$

Giải phương trình:  $\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=2\cos x−1$

Định a để phương trình có nghiệm duy nhất.

Định a để phương trình: $\log_3 (x^2+4ax)+\log_{\frac{1}{3}} (2x-2a-1)=0 \;\; (1)$ có nghiệm duy nhất.

Tìm m để phương trình vô nghiệm

Tìm m để phương trình $x^4-mx^3+(m+1)x^2-2x+1=0 \;\; (1)$ vô nghiệm

Tìm m để phương trình $x^2+\sqrt{(1-x^2)^3}=m$ có nghiệm trên R

Tìm m để phương trình $x^2+\sqrt{(1-x^2)^3}=m$ có nghiệm trên R

Giải hệ phương trình : $\begin{cases}x^2-2xy+2y+15=0 \\ 2x-2xy+y^2+5=0 \end{cases}$

Giải hệ phương trình : $\begin{cases}x^2-2xy+2y+15=0 \;\;  (1)\\ 2x-2xy+y^2+5=0 \;\; (2) \end{cases}$

Giải phương trình: $x\ln^2 x−(3x−1)\ln x+2x−2=0$

Giải phương trình:   $x\ln^2 x−(3x−1)\ln x+2x−2=0 \;\; (*)$

Tìm a để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt: $\log_3x^2+a\sqrt{\log_3x^8}+a=-1$

Tìm $a$ để phương trình sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt: $\log_3 x^2+ a \sqrt{\log_3 x^8}+a+1=0$

Giải phương trình $\cos 5x +\cos 3x +\cos x = \frac{1}{2}$

Giải phương trình $\cos 5x +\cos 3x +\cos x = \dfrac{1}{2}$

Giải $\log_2 (x^2 +1) +2x^3=\log_2 x +3x^2$

Giải phương trình: $\log_2 (x^2 +1) +2x^3=\log_2 x +3x^2$

Giải phương trình $4{\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + x\sqrt {2{x^2} - 4} = 40$

Giải phương trình $4{\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + x\sqrt {2{x^2} - 4} = 40$

Giải $9\left (\dfrac{2\sqrt{2}}{9}\right )^x-13\left (\dfrac{\sqrt{2}}{3}\right )^x+\dfrac{4}{(\sqrt{2})^x}=0$

Giải phương trình:  $9\left (\dfrac{2\sqrt{2}}{9}\right )^x-13\left (\dfrac{\sqrt{2}}{3}\right )^x+\dfrac{4}{(\sqrt{2})^x}=0$

Giải $(x+2)^x=x^{x+2}$

Giải phương trình:  $(x+2)^x=x^{x+2}$

Giải $2^{3^x}=3^{2^x}$

Giải phương trình: $2^{3^x}=3^{2^x}$

Giải $3^x.2x=3^x+2x+1$

Giải phương trình:  $3^x.2x=3^x+2x+1$

Giải $2^x +6.3^x=4^x+2.5^x+6^x$

Giải phương trình:  $2^x +6.3^x=4^x+2.5^x+6^x$

Giải $\left (\sqrt{5}+2 \right )^{x-1}=\left (\sqrt{5}-2 \right )^{\frac{x-1}{x+1}}$

Giải phương trình:  $\left (\sqrt{5}+2 \right )^{x-1}=\left (\sqrt{5}-2 \right )^{\frac{x-1}{x+1}}$

Giải $(3+2\sqrt{2})^x+2(\sqrt{2}-1)^x=3$

Giải phương trình:  $(3+2\sqrt{2})^x+2(\sqrt{2}-1)^x=3$

Giải $25^{\log x}=5+4.x^{\log 5}$

Giải phương trình:  $25^{\log x}=5+4.x^{\log 5}$

Hướng dẫn

ĐK: x > 0
* x = 1 không là nghiệm
Ta có $x^{\log 5}=x^{\log x.\log_x 5}=\left ( x^{\log_x 5}\right )^{\log x}=5^{\log x}$

(Ta vừa chứng minh công thức  $M^{\log_a N}=N^{\log_a M}$)

Phương trình trở thành:
$ 5^{2\log x}=5+4.5^{\log x}$
Đặt $t= 5^{\log x} > 0$
$t^2-4t-5=0 \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}t=-1\\ t=5\end{matrix}\right. \Leftrightarrow t= 5 \\ \Leftrightarrow \log x =1 \Leftrightarrow x = 10$

Giải $ (\sqrt{3})^{x}-2^{x-1}=1$

Giải phương trình:  $\left ( \sqrt{3} \right )^{x}-2^{x-1}=1$

Hướng dẫn

 Đặt $ 2t = x$ , phương trình trở thành:  $2.3^t-4^t-2=0$
Xét hàm số $g(t)=2.3^t-4^t-2$ trên R
$g'(t)=2.3^t.ln3-4^t.ln4$
$g'(t)=0 \Leftrightarrow 2.3^t.ln3=4^t.ln4 \Leftrightarrow t=\log_{\frac{3}{4}}\dfrac{ln4}{2ln3}=\log_{\frac{3}{4}}(\log_3{2})$
Lập BBT, ta có
* $t= \log_{\frac{3}{4}}(\log_3{2})$ không là nghiệm.
* Khi $t < \log_{\frac{3}{4}}(\log_3{2})$: g(t) đồng biến mà $g(1)=0$ nên phương trình có nghiệm $t=1 \Leftrightarrow x=2$
* Khi $t > \log_{\frac{3}{4}}(\log_3{2})$: g(t) nghịch biến mà $g(2)=0$ nên phương trình có nghiệm $t=2 \Leftrightarrow x=4$
KL: phương trình có 2 nghiệm $x=2$ và $x=4$