Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}$ và điểm $I (0; 0; 3)$. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ và cắt $d$ tại hai điểm $A, B$ sao cho tam giác $IAB$ vuông tại $I$.

 

Vẽ $IH \perp (d)$

$(d)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {a}=(1;2;1)$, qua $M(-1;0;2)$

Ta có $IH = d(I,d) = \dfrac{{\left| {\left[\overrightarrow {a} ,\overrightarrow {{MI}} \right] } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{a}} } \right|}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$

mà $IH$ là đường cao của tam giác vuông cân $IAB$ nên $IH=\dfrac{IA}{\sqrt{2}}=\dfrac{R}{\sqrt{2}}$

Suy ra $R=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$

Vậy $(S): x^2+y^2+(z-3)^2=\dfrac{8}{3}$