Viết phương trình tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) một góc $45^0$

Viết phương trình tiếp tuyến của $(C): y=\dfrac{3x-1}{x-3}$, biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng $(d): x + 3y - 3 = 0$ một góc $45^0$.


Tập xác định:   D = R \ {3}
Đạo hàm $y’ =\dfrac{-8}{(x-3)^2}$

Đường thẳng $x=a$ không là tiếp tuyến của $(C)$

Tiếp tuyến $(\Delta ): y=kx +b \Leftrightarrow kx-y+b=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(k;-1)$
$(d)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_d}=(1;3)$

Theo đề bài $\cos (d,\Delta )=\cos 45^0 \Leftrightarrow |\cos (\overrightarrow{n},\overrightarrow{n_d} )|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{|k-3|}{\sqrt{10}.\sqrt{k^2+1}} =\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow |k-3|=\sqrt{5}.\sqrt{k^2+1}$
$\Leftrightarrow (k-3)^2=5(k^2+1) \Leftrightarrow 2k^2+3k-2=0 \Leftrightarrow k=-2 \vee k=\dfrac{1}{2}$

* Trường hợp $k=-2$

Ta có $f ’(x_0)=k \Leftrightarrow \dfrac{-8}{(x_0 -3)^2}=-2 \Leftrightarrow \left[ \begin{align} x_0 =5 \\ x_0 = 1\end{align}\right.$

Với $x_0 = 5 : y_0 =7$ Tiếp tuyến $(\Delta )$ qua điểm $(5;7)$ nên $b=17$
Vậy $(\Delta _1): y =-2x+17$

Với $x_0 = 1 : y_0 =-1$ Tiếp tuyến $(\Delta )$ qua điểm $(1;-1)$ nên $b=1$
Vậy $(\Delta _2): y =-2x+1$

* Trường hợp $k=\dfrac{1}{2}$

Ta có $f ’(x_0)=k \Leftrightarrow \dfrac{-8}{(x_0 -3)^2}=\dfrac{1}{2}$ (phương trình vô nghiệm)

KL:

1. Có thể dùng công thức $|\tan (d,\Delta )|= | \tan[ (Ox,\Delta )-(Ox,d)] | = \left | \dfrac{\tan(Ox, \Delta )-\tan(Ox,d)}{1+\tan(Ox,\Delta ).\tan(Ox,d)}\right|$
Trong đó: $\tan(Ox,\Delta )=k$ và $\tan(Ox,d)=-\dfrac{1}{3}$

2. Đối với hình giải tích thì đường thẳng $x=a$ vẫn có thể là tiếp tuyến nên tiếp tuyến $(\Delta )$ có dạng $Ax+By+C=0$