Tìm M thuộc (d) sao cho MA+MB nhỏ nhất.

Cho $(d): \dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+2}{2}$, $A(1;1;0) , B(3;-1;4)$. Tìm $M$ thuộc $(d)$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất.

Phương trình tham số $(d): \begin{cases} x=t-1\\ y=-t+1 \\ z=2t-2 \end{cases}$

Do $M \in (d)$ nên $M(t-1;-t+1;2t-2)$

Ta có: $MA+MB=\sqrt{(t-2)^2+(-t)^2+(2t-2)^2}+\sqrt{(t-4)^2+(-t+2)^2+(2t-6)^2}$
$=\sqrt{6t^2-12t+8}+\sqrt{6t^2-36t+56}$
$=\sqrt{6(t^2 -2t+1-1)+8}+\sqrt{6(t^2-6t+9-9)+56 }$
$=\sqrt{6(t-1)^2+2}+\sqrt{6(t-3)^2+2 }$
$=\sqrt{(\sqrt{6}t-\sqrt{6})^2+2}+\sqrt{(\sqrt{6}t-3\sqrt{6})^2+2 }$

Đặt $\overrightarrow{u}=(\sqrt{6}t-\sqrt{6};\sqrt{2}); \overrightarrow{v}=(-\sqrt{6}t+3\sqrt{6};\sqrt{2})$

Ta có $|\overrightarrow{u}| + |\overrightarrow{v}| \ge |\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}| \\ \Leftrightarrow MA + MB \ge \sqrt{(2\sqrt{6})^2+(2\sqrt{2})^2}=4\sqrt{2}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ cùng hướng

$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{6}t-\sqrt{6}}{-\sqrt{6}t+3\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}>0 \Leftrightarrow t=2 \Leftrightarrow M(1;-1;2)$

Kết luận: $MA+MB$ đạt giá trị nhỏ nhất là $4\sqrt{2}$ khi và chỉ khi $M(1;-1;2)$


Cách khác: Dùng hình học

Gọi H, K là hình chiếu của A, B trên (d).

Dựng đường thẳng (d') qua K và song song với AH, trên (d') lấy điểm A' sao cho KB = KA'

Lúc đó M là giao điểm của AA' và (d)

Hay $\dfrac{MA}{MB} = \dfrac{d(A,d)}{d(B,d)}$