Tìm số hạng chứa $x^5$ trong khai triển nhị thức $\left ( \frac{nx^2}{14}-\frac{1}{x} \right )^n$

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $5C^{n-1}_n=C^3_n$. Tìm số hạng chứa $x^5$ trong khai triển nhị thức $\left ( \dfrac{nx^2}{14}-\dfrac{1}{x} \right )^n, x \neq 0$

Ta có:
$5C_n^{n - 1} = C_n^3 \;\; (n \ge 3; n \in N) \\ \Leftrightarrow 5n = \dfrac{n(n - 1)(n - 2)}{6} \\ \Leftrightarrow n^2 - 3n + 2 = 30 (do \; n \ge 3) \\
\Leftrightarrow n^2 - 3n - 28 = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} n & = 7 \\n & = - 4 \mbox{ (loại)} \end{align} \right.$

Ta có : $ \left ( \dfrac{nx^2}{14} - \dfrac{1}{x} \right )^n = \left ( \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{1}{x} \right )^7$

Số hạng tổng quát $ C_7^k \left (\dfrac{x^2}{2} \right )^{7 - k}. (-1)^k \left (\dfrac{1}{x}\right )^k=C_7^k (-1)^k .2^{k-7} .x^{14-3k}$

Số hạng chứa $x^5$ ứng với $14-3k=5 \Leftrightarrow k=3$

Vậy số hạng chứa $x^5$ là $-\dfrac{35}{16}x^5$