Tìm m để (d) cắt (C) tại A, B sao cho AB nhỏ nhất

Cho đồ thị hàm số $y=\dfrac{x-1}{x+1} (C)$. Tìm các giá trị của $m$ để đường thẳng $(d): y=2x+m$ cắt đồ thị hàm số $(C)$ tại hai điểm $A, B$ sao cho độ dài $AB$ nhỏ nhất

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): $\dfrac{x-1}{x+1} =2x+m \Leftrightarrow 2x^2+(m-3)x-(m+1)=0 (*)$

$\Delta=m^2+2m+17>0, \forall m \in R$ nên (*) có hai nghiệm phân biệt, do đó $(d)$ luôn cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$.

Hoành độ 2 điểm $A, B$ là nghiệm của (*) : $\begin{cases} x_1+x_2=-\dfrac{m-3}{2} \\ x_1.x_2=-\dfrac{m+1}{2} \end{cases}$

Hai điểm $A, B$ thuộc $(d)$ nên $\begin{cases} y_1=2x_1+m \\ y_2=2x_2+m \end{cases}$

Ta có
$\begin{align} AB^2 &= (x_1-x_2)^2+(2x_1+m-2x_2-m)^2 \\ &= 5(x_1-x_2)^2=5(x_1+x_2)^2-20x_1x_2 \\ &= 5 \left(\dfrac{m-3}{2} \right )^2 +20 \left ( \dfrac{m+1}{2} \right ) \\ &= \dfrac{5}{4} (m^2+2m+17) \\ &= \dfrac{5}{4} (m+1)^2+20 \ge 20 \end{align}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $m=-1$

Vậy $AB$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\sqrt{20}\Leftrightarrow m=-1$