Viết phương trình tiếp tuyến cắt 2 trục tại M, N sao cho trọng tâm tam giác OMN thuộc đường thẳng (d)

Cho hàm số $y=\dfrac{2x+3}{x+2} (1)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại $M, N$ sao cho trọng tâm tam giác $OMN$ thuộc đường thẳng $(d): x+9y=0$.

Gọi $M(m;0); N(0;n)$. Điều kiện : $ m,n \neq 0$.
Khi đó trọng tâm tam giác $OMN$ là $G \left( \dfrac{m}{3}; \dfrac{n}{3} \right)$.
Vì $G$ thuộc đường thẳng $x+9y=0$ nên có $m+9n=0 \Leftrightarrow m=-9n$.
Từ đó lập được phương trình $(MN): \dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{n}=1 \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{9}x+n$
Điều kiện $(MN)$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1):$ \begin{cases}\dfrac{2x+3}{x+2} &= \dfrac{1}{9}x+n \;\; (1) \\ \dfrac{1}{(x+2)^2} &= \dfrac{1}{9} \;\; (2) \end{cases}$

Giải hệ ta được : $n_1=\dfrac{14}{9} \vee n_2=\dfrac{26}{9}$

Có 2 tiếp tuyến $y=\dfrac{1}{9}x+\dfrac{14}{9}$ và $y=\dfrac{1}{9}x+\dfrac{26}{9}$