Tìm đường thẳng qua A, nằm trong (P) và tạo với (d) một góc bằng $45^0$

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 2x + y + z - 1 = 0$ và đường thẳng $(d):\begin{cases} x &=t \\ y &=-2 + 2t \\ z &=-t \end{cases}$. Gọi $A$ là giao điểm của $(P)$ và $(d)$. Viết phương trình đường thẳng đi qua $A$, nằm trong $(P)$ và tạo với $(d)$ một góc bằng $45^0$.

Giải

Ta có: $A=(d) \cap (P)$
$\begin{cases} x =t \\ y =-2 + 2t \\ z =-t \\ 2x + y + z - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t &=1\\ x &=1 \\ y &=0 \\ z &=-1 \end{cases} \Leftrightarrow A(1;0;-1)$

$(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;1;1) , \,\, (d)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(1;2;-1)$
Gọi $\overrightarrow{u}=(a;b;c), \,\, (a^2+b^2+c^2>0)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $(\Delta)$

Ta có: $\overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{n} \Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0 \Leftrightarrow 2a+b+c=0 \Leftrightarrow c=-2a-b \Rightarrow \overrightarrow{u}=(a;b;-2a-b)$

Theo đề bài:

$\cos \widehat{\left ( d,\Delta \right )}=|\cos( \overrightarrow{a},\overrightarrow{u})|=\cos 45^0 \Leftrightarrow \dfrac{|a+2b+2a+b|}{\sqrt{6}\sqrt{a^2+b^2+(-2a-b)^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 3|a+b|=\sqrt{3}\sqrt{5a^2+4ab+2b^2} \Leftrightarrow 2a^2-2ab-b^2=0 (*)$

Trường hợp $b=0 \Rightarrow a=0 \Rightarrow c=0$ : không thỏa
Trường hợp $b \ne 0$: $(*) \Leftrightarrow 2 \left( \dfrac{a}{b}\right)^2-2\left(\dfrac{a}{b}\right)-1=0 \Leftrightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$
Chọn $a=1 \pm \sqrt{3}\Rightarrow b=2 \Rightarrow c=-(4\pm 2\sqrt{3})$

Vậy có 2 đường thẳng $(\Delta):\begin{cases} x &=1 +(1 \pm \sqrt{3})t' \\ y &= 2t' \\ z &=-1-(4\pm 2\sqrt{3})t' \end{cases}$.