Tìm đường thẳng $(d)$ song song với 2 mặt phẳng $(P), (Q)$ và cách hai mặt phẳng một đoạn bằng $\sqrt{3}$

Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P): x+y+z+2=0$, $(Q): x+y-z-1=0$. Lập phương trình đường thẳng $(d)$ song song với 2 mặt phẳng $(P), (Q)$ và cách hai mặt phẳng một đoạn bằng $\sqrt{3}$

Giải

Do $(d)$ song song với $(P)$ và cách $(P)$ một khoảng bằng $\sqrt{3}$ nên $(d)$ nằm trong mp$(P')$ song song với $(P)$ và cách $(P)$ một khoảng bằng $\sqrt{3}$

Tìm $(P')$:

$(P'): x+y+z+p=0$, chọn $A(-2;0;0) \in (P)$

$d[(P),(P')]=d[M,(P')]=\dfrac{|-2+p|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{align} p &=5 \\ p &=-1 \end{align} \right.$

Vậy $(P'_1):x+y+z+5=0 \\ (P'_2):x+y+z-1=0$

Tương tự: $(d)$ nằm trong mp$(Q')$ song song với $(Q)$ và cách $(Q)$ một khoảng bằng $\sqrt{3}$

$(Q'_1): x+y-z+2=0 \\ (Q'_2):x+y-z-4=0$

Ta có $(d)$ là giao tuyến của 2 mặt phẳng $(P')$ và $(Q')$

$(d_1)= (P'_1) \cap (Q'_1) \Rightarrow (d_1): \begin{cases} x &= -t_1 \\ y &= -\dfrac{7}{2}+t_1 \\ z &= -\dfrac{3}{2} \end{cases}$

$(d_2)= (P'_1) \cap (Q'_2) \Rightarrow (d_2): \begin{cases} x &= -t_2 \\ y &= -\dfrac{1}{2} +t_2 \\ z &= -\dfrac{9}{2} \end{cases}$

$(d_3)= (P'_2) \cap (Q'_1) \Rightarrow (d_3): \begin{cases} x &= -t_3 \\ y &= -\dfrac{1}{2}+t_3 \\ z &= \dfrac{3}{2}\end{cases}$

$(d_4)= (P'_2) \cap (Q'_2) \Rightarrow (d_4): \begin{cases} x &= -t_4 \\ y &=\dfrac{5}{2} +t_4 \\ z &=-\dfrac{3}{2} \end{cases}$