Tìm m để đường thẳng $(d):y=-x+m$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho $OA^2 +OB^2=18$

Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-1} \,\, (1)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $(d):y=-x+m$ cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt $A,B$ sao cho $OA^2 +OB^2=18$

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): $\begin{align} & \dfrac{2x+1}{x-1} = -x+m (x \neq 1) \\ & \Leftrightarrow 2x+1 = (-x+m)(x-1) (x=1 \mbox{ không là nghiệm} ) \\ & \Leftrightarrow x^2–(m–1)x+m+1 = 0 \,\, (\star) \end{align}$

Để $(d)$ cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt thì $(\star)$ có hai nghiệm phân biệt:
$\Delta = m^2 - 6m - 3 > 0 \Leftrightarrow m < 3-\sqrt{12} \vee m > 3+\sqrt{12}$

Hoành độ của $A, B$ là nghiệm của $(\star)$: $\begin{cases} x_1 +x_2 &= m-1 \\ x_1.x_2 &= m+1 \end{cases}$
Do $A,B$ nằm trên $(d)$ nên $\begin{cases} y_1 =-x_1+m \\ y_2 =-x_2+m \end{cases}$

$\begin{array}{l} OA^2 = x_1^2 + y_1^2=x_1^2 + ( - x_1 + m)^2 = 2x_1^2 - 2x_1 m + m^2 \\ OB^2 = x_2^2 + y_2^2 =x_2^2 + ( - x_2 + m)^2 = 2x_2^2 - 2x_2 m + m^2 \end{array}$
Suy ra:
$\begin{align} & OA^2 + OB^2 = 18 \\ & \Leftrightarrow 2(x_1 + x_2 )^2 - 4x_1 x_2 - 2m(x_1 + x_2 ) + 2m^2 = 18 \\ & \Leftrightarrow m^2 - m - 12 = 0 \\ & \Leftrightarrow m = - 3 \vee m = 4 \end{align}$

So với ĐK, ta có kết quả: $m = - 3$