Tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận tại A, B sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất.

Cho đồ thị $(C)$ có phương trình: $y=\dfrac{x-2}{x+1}$. Gọi $I$ là giao điểm 2 tiệm cận của đồ thị, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận tại $A, B$ sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $IAB$ lớn nhất.

Ta có: $y' = \dfrac{3}{(x+1)^2}$

Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng: $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$ và điểm $I(-1;1)$

Gọi $M \in (C): M \left(m-1;\dfrac{m-3}{m}\right), m \neq 0$

Phương trình tiếp tuyến tại $M$ là $(\Delta): y=f'(x_M)(x-x_M)+y_M \\ \Leftrightarrow 3x -m^2y +m^2-6m+3=0$

$A$ là giao điểm của $(\Delta)$ và tiệm cận ngang: $A(2m-1;1) \Rightarrow IA=2|m|$

$B$ là giao điểm của $(\Delta)$ và tiệm cận đứng: $B \left(-1;\dfrac{m-6}{m}\right) \Rightarrow IB=\dfrac{6}{|m|}$

Suy ra: $IA.IB=12$

Nhận xét: Tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị cắt 2 tiệm cận tại $A, B$ thì $IA.IB$ không đổi.

Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp, $S$ là diện tích tam giác, $p$ là nửa chu vi tam giác.

$r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{\frac{1}{2}IA.IB}{\frac{IA+IB+AB}{2}}=\dfrac{IA.IB}{IA+IB+\sqrt{IA^2+IB^2}}\\  \le \dfrac{IA.IB}{2\sqrt{IA.IB}+\sqrt{2.IA.IB}}=\dfrac{12}{2\sqrt{12}+\sqrt{24}}=2\sqrt{3}-\sqrt{6} $

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow IA=IB \Leftrightarrow 2|m|= \dfrac{6}{|m|} \Leftrightarrow m=\pm \sqrt{3}$

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $IAB$ đạt giá trị lớn nhất là $2\sqrt{3}-\sqrt{6} \Leftrightarrow m=\pm \sqrt{3}$

Khi đó $(\Delta): 3x-3y +6 \pm6 \sqrt{3}=0$