Giải phương trình: $2\cos^3x=2\cos x+2\tan 2x+\sin x. \sin 2x$

Giải phương trình: $2\cos^3x=2\cos x+2\tan 2x+\sin x. \sin 2x$


Giải

ĐK: $\cos 2x \ne 0$

Phương trình tương đương:

$2\cos x-2\cos^3x+2\tan 2x+\sin x. \sin 2x = 0 \\ \Leftrightarrow 2\cos x.\sin^2x+2\tan 2x+\sin x. \sin 2x =0 \\ \Leftrightarrow 2\tan 2x+2\sin x. \sin 2x =0 \\ \Leftrightarrow \sin 2x \left( \dfrac{1}{\cos 2x}+\sin x \right) =0  \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin 2x=0 \,\, (1) \\ \cos 2x. \sin x = -1 \,\, (2) \end{matrix}\right.$

$(1) \Leftrightarrow x=\dfrac{k\pi}{2}$

$(2) \Leftrightarrow \sin3x-\sin x = -2$

Do $\forall x \in R: \begin{cases} \sin 3x \le -1 \\ -\sin x \le -1 \end{cases}$ nên $(2) \Leftrightarrow \begin{cases} \sin 3x = -1 \\ \sin x =1 \end{cases} \Leftrightarrow x= \dfrac{\pi}{2}+k2\pi$

Kết hợp với ĐK: phương trình có nghiệm $x=\dfrac{k\pi}{2} , \,\, k \in Z$