Đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O

Cho đồ thị $(C): y= −\dfrac{1}{3}x^3+3x$. Viết phương trình đường thẳng $(d)$ song song với trục hoành và cắt đồ thị $(C)$ tại 2 điểm phân biệt $A, B$ sao cho tam giác $OAB$ cân tại $O$.

Phương trình đường thẳng $(d): y = m, m \ne 0$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và đường thẳng $(d)$ $x^3-9x+3m=0 \,\, (1)$

Do $\Delta OAB$ cân tại $O$ và $AB \perp Oy$ nên $A, B$ đối xứng nhau qua $Oy$. Khi đó $(d)$ cắt $(C)$ tại 3 điểm có hoành độ: $x_1, -x_1, x_2 , (x_1 \ne 0)$

$x_1, -x_1, x_2$ là nghiệm phương trình: $(x-x_1)(x+x_1)(x-x_2)=0 \Leftrightarrow x^3-x_2x^2-x_1^2x+x_1^2x_2=0 \,\,  (2)$

Đồng nhất hệ số (1) và (2): $\begin{cases} -x_2=0 \\ -x_1^2=-9 \\ x_1^2x_2=3m \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_2=0 \\ x_1=\pm 3 \\ m=0 \mbox{ không thỏa} \end{cases}$

Kết luận: Không có đường thẳng $(d)$ thỏa đề bài.

Nếu đề bài không cho (d) song song Ox thì m = 0 cũng loại vì (d) qua O (O, A, B thẳng hàng)

Cách 2
Tìm 2 điểm phân biệt $A, B$ trên $(C)$ đối xứng nhau qua $Oy$

Gọi $A(a;m)$ có điểm đối xứng qua $Oy$ là $B(-a;m), m \neq 0$. Ta có $A, B \in (C)$:

$\begin{cases} m= −\dfrac{1}{3}a^3+3a \\ m= −\dfrac{1}{3}(-a)^3+3(-a)\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m= −\dfrac{1}{3}a^3+3a \\ m= \dfrac{1}{3}a^3-3a \end{cases} \Rightarrow m=0 \mbox{ Loại}$