Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất

Cho hàm số $y=\dfrac{−2x+1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị $(C)$ một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.

Giải

Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng $x=-1$

Gọi M, N là 2 điểm trên 2 nhánh đồ thị: $x_M < -1 < x_N$ $M \left(-1-m;\dfrac{2m+3}{-m}\right); \,\, N \left(-1+n;\dfrac{-2n+3}{n}\right) , \,\,\, m, n > 0$

$MN^2= ( n+m)^2+\left( \dfrac{3(m+n)}{mn} \right)^2=(m+n)^2 \left(1+\dfrac{9}{m^2 n^2}\right) \\ \ge 4mn \left(1+\dfrac{9}{m^2 n^2}\right)=4mn+\dfrac{36}{mn} \\ \ge 2\sqrt{4mn.\dfrac{36}{mn}}=24$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases} m = n > 0 \\ 4mn=\dfrac{36}{mn} \end{cases} \Leftrightarrow m = n = \sqrt{3}$

$MN$ đạt giá trị nhỏ nhất là $2\sqrt{6} \Leftrightarrow M(-1-\sqrt{3};-2-\sqrt{3}); \,\, N(-1+\sqrt{3};-2+\sqrt{3})$