Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và A’F trong lăng trụ ABC.A'B'C'

Cho lăng trụ $ABC.A’B’C’$ mặt bên là các hình vuông cạnh bằng $a$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC, A’C’, B’C’$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $DE$ và $A’F$ theo $a$

 Do $AB, AC$ cùng vuông góc với $AA'$ nên $AA' \perp (ABC)$ và $\Delta ABC$ đều nên $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ tam giác đều.

Gọi $K$ là trung điểm $FC'$, ta có $EK // A'F // AD$ nên $A, D, K, E$ đồng phẳng và $A'F // (ADKE)$

Do đó $d(DE, A'F) = d[A'F,(ADKE)] = d[F,(ADKE)]$

Trong $(BCC'B')$ dựng $FH \perp DK$

Ta có $A'F$ là đường cao của tam giác đều $A'B'C'$ nên $A'F \perp (BCC'B') $

$\Rightarrow A'F \perp FH \Rightarrow EK \perp FH \Rightarrow FH \perp (ADKE) \Rightarrow d[F,(ADKE)]=FH$

$FH$ là đường cao của tam giác vuông $DFK$ nên tính được $FH=\dfrac{a\sqrt{17}}{17}$

Vậy $d(DE, A'F) =\dfrac{a\sqrt{17}}{17}$