Hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 18, cạnh SD=6

Hình chóp $S.ABCD$ có thể tích bằng $18$, cạnh $SD=6$ . Hãy tính độ dài các cạnh còn lại của hình chóp biết các cạnh đó đều có độ dài bằng nhau.

Ta có các tam giác: $\Delta BAC; \Delta SAC; \Delta DAC $ bằng nhau.
Gọi O là giao điểm của AC, BD
Suy ra $BO=SO=OD \Rightarrow \triangle{SBD}$ vuông tại $S$

Ta có: $AO \bot SO$ và $ AO \bot BD$ nên $ AO \bot (SBD)$

Mặt khác : $V_{SABCD}=2V_{SABD}=2V_{ASBD}=\dfrac{2}{3}AO.S_{\Delta SBD}$

Đặt $SB=x>0$

$S_{\Delta SBD}=\dfrac{1}{2}.SB.SD=3x; BD=\sqrt{x^2+36}$

$\Rightarrow AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{x^2-\dfrac{BD^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{3x^2-36}{4}}$

Vậy thể tích của khối chóp là: $V_{SABCD}=\dfrac{2}{3}.\sqrt{\dfrac{3x^2-36}{4}}.3x=2x\sqrt{\dfrac{3x^2-36}{4}}=x\sqrt{3x^2-36}$

Nên $x\sqrt{3x^2-36}=18 \Leftrightarrow x^4-12x^2-108=0 \Leftrightarrow x=3\sqrt{2}$