Thể tích lăng trụ ABC.A'B'C'

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại $A, BC=2a$, $AA'$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Góc giữa $( AB'C)$ và $(BB'C)$ bằng $60^0$. Tính thể tích lăng trụ $ABC.A'B'C'$.

Hướng dẫn
Gọi $M$ là trung điểm $BC$: $AM \perp BC \Rightarrow AM \perp (BCC'B') \Rightarrow AM \perp B'C$

Trong $(BCC'B')$ vẽ $MH \perp B'C \Rightarrow B'C \perp (AMH)$

nên góc giữa $(AB'C)$ và $(BB'C)$ là $\widehat{AHM}=60^0$

Ta có $AM=\dfrac{BC}{2}=a$. Trong tam giác vuông $AMH$ ta có: $MH=\dfrac{AM}{\tan H} =\dfrac{a}{\sqrt{3}}$

Trong tam giác $BCB'$ vẽ $BK$ song song với $MH$: $BK=2MH=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$

mà $BK$ là đường cao của tam giác vuông $BCB'$ nên tính được : $BB'=a\sqrt{2}$

Vậy thể tích $ABC.A'B'C'$ là : $V=a^3\sqrt{2}$