Tính thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và A'C'

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh $AB=AD=AA'=1$ các góc phẳng tại đỉnh $A$ bằng $60^0$. Tính thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB'$ và $A'C'$

Giải

Xét $\Delta ABD : AB=AD=1 ; \widehat{BAD}=60^0$ nên $\Delta BAD$ đều

Tương tự : $\Delta ABA', \,\, \Delta ADA'$ là các tam giác đều nên $A'ABD$ là tứ diện đều cạnh bằng 1

Tính được $V_{A'ABD}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}$

mà $V_{A'B'C'D'.ABCD}=6.V_{A'ABD}$ nên $V_{A'B'C'D'.ABCD}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Ta có $ \begin{cases} (ACB') // (A'C'D) \\ AB' \subset (ACB') ; \,\, A'C' \subset (A'C'D) \end{cases} \\ \Rightarrow d(AB',A'C')=d[(ACB'),(A'C'D)]=d[D,(ACB')]$

Do $A'B' // (ABCD)$ nên $d[A',(ABCD)]=d[B',(ABCD)]$ mà $S_{ABD}=S_{ACD}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD} \Rightarrow V_{B'ACD}=V_{A'ABD}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}$

Ta có: $AC=AB'=\sqrt{3} ; \,\, B'C=1 \Rightarrow S_{ACB'}=\dfrac{\sqrt{11}}{4}$

$d[D,(ACB')]=\dfrac{3V_{B'ACD}}{S_{ACB'}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$