Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho diện tích tam giác IBC bằng $8\sqrt{2}$

Cho hàm số $y = x^3+2mx^2+(m+3)x+4 (Cm)$ và điểm $I(1;3)$. Tìm $m$ để đường thẳng $(d): y = x + 4$ cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt $A(0;4), B, C$ sao cho diện tích tam giác $IBC$ bằng $8\sqrt{2}$

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của $(Cm)$ và $(d)$:

$ x^3+2mx^2+(m+3)x+4 =x+4 \\ \Leftrightarrow x(x^2+2mx+m+2)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0 \,\, (1) \\ x^2+2mx+m+2 =0 \,\, (2) \end{matrix} \right.$

$(d)$ cắt $(Cm)$ tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \begin{cases} \Delta > 0 \\ x=0 \mbox{ không là nghiệm} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m^2-m-2>0 \\ m+2 \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < -1 \vee m > 2 \\ m \ne -2 \end{cases}$

Do $x_A=0$ nên hoành độ B, C là nghiệm của (2): $\begin{cases} x_B + x_C =-2m \\ x_B.x_C=m+2 \end{cases}$

Ta có B, C nằm trên (d) nên: $\begin{cases} y_B = x_B +4 \\ y_C = x_C +4 \end{cases}$

Suy ra: $BC^2=(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2=2[(x_C+x_B)^2-4x_C.x_B]=8m^2-8m-16$

Ta có khoảng cách từ I đến đường thẳng (BC) là: $d[I,(d)]=\dfrac{|1-3+4|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

Diện tích tam giác $IBC$: $S=\dfrac{1}{2}.BC.d[I,(d)] \\ \Leftrightarrow 8\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}.\sqrt{2}.BC \\ \Leftrightarrow BC^2=256 \\ \Leftrightarrow 8m^2-8m-272=0 \\ \Leftrightarrow m=\dfrac{1 \pm\sqrt{137}}{2} \mbox{ thỏa}$