Hàm số có 2 điểm cực trị thỏa $x_1+2x_2 =1$

Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}mx^3–(m−1)x^2+(m−3)x+\dfrac{1}{3}$. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thỏa $x_1+2x_2 =1$


Tập xác định $D=R$

Đạo hàm: $y'=mx^2-2(m-1)x+m-3$

Hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \begin{cases} a \ne 0 \\ \Delta > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \ne 0 \\ m > -1 \end{cases}$

Theo giả thiết: $x_1+2x_2 =1 \,\, (1)$

Áp dụng Định lý Viet: $\begin{cases} x_1+x_2=\dfrac{2(m-1)}{m} \,\, (2) \\ x_1.x_2=\dfrac{m-3}{m} \,\, (3) \end{cases}$

Kết hợp (1) và (2): $\begin{cases} x_1+x_2=\dfrac{2m-2}{m} \\ x_1+2x_2 =1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1=\dfrac{3m-4}{m} \\ x_2=\dfrac{2-m}{m} \end{cases}$

Thế vào (3): $\dfrac{3m-4}{m} .\dfrac{2-m}{m}=\dfrac{m-3}{m}$ giải tìm được $m$ (nhớ kết hợp với điều kiện)