Đường thẳng cắt (C) tại hai điểm P, Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Cho đồ thị $(C)$ có phương trình: $y = x^3+3x^2-4 $ và hai điểm $M \left(\dfrac{1}{2};2\right)$, $N \left(\dfrac{7}{2};2\right)$. Viết phương trình đường thẳng $(d)$ cắt $(C)$ tại hai điểm $ P, Q $ sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Giải

Ta có $\overrightarrow{MN}=(3;0)$

Vì $MNPQ$ là hình bình hành nên $PQ // MN \Rightarrow $ đường thẳng $(d)$ có dạng $y = a$
Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $(d): x^3+3x^2-4-a=0 \,\,  (1)$

Gọi $Q(q,a)$. Do $\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{MN}=(3;0)$ nên $P(q+3,a)$
$(C)$ cắt $(d)$ tại các điểm có hoành độ $q, q+3, k$

$(d)$ cắt $(C)$ ít nhất tại 2 điểm nên có thể $k=q$ hay $k=q+3$

$q, q+3, k$ là nghiệm của phương trình: $(x-q)(x-q-3)(x-k)=0 \\ \Leftrightarrow x^3+(-k-2q-3)x^2+(q^2+3q+2qk+3k)x -q^2k-3qk=0 (2)$

Đồng nhất hệ số (1) và (2):
$\begin{cases}-k-2q-3=3 \,\, (3) \\ q^2+3q+2qk+3k=0 \,\, (4) \\ -q^2k-3qk=-4-a \,\, (5) \end{cases}$

$(3) \Leftrightarrow k=-2q-6$ thế vào $(4)$ được $q^2+5q+6=0 \Leftrightarrow q=-2 \vee q=-3$.
Suy ra $ a=0 \vee a=-4$

Phương trình đường thẳng cần tìm: $y=0 \vee y=-4$