Tìm trên đồ thị hai điểm A, B sao cho điểm H nằm trên đường cao dựng từ I của tam giác IAB và cạnh AB có độ dài nhỏ nhất

Cho hàm số $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}$ có đồ thị là $(C)$. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị $(C)$ và $H (0;3)$. Tìm trên đồ thị $(C)$ hai điểm $A, B$ sao cho điểm $H$ nằm trên đường cao dựng từ $I$ của tam giác $IAB$ và cạnh $AB$ có độ dài nhỏ nhất.

Giải

Do $IH \perp AB$ nên đường thẳng $(AB)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{HI}=(1;-1)$
$(AB): x-y+m=0 \Leftrightarrow y=x+m$
Đường thẳng $(IH)$ qua điểm $H$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{HI}$ nên $(IH): y = -x+3$

Gọi $K$ là giao điểm của $(AB)$ và $(IH)$. Ta có $IK$ là đường cao của tam giác $IAB$. Do $H$ nằm trên đường cao dựng từ $I$ của tam giác $IAB$ nên $H$ nằm trên đoạn $IK \Rightarrow x_K \le x_H < x_I \Rightarrow x_K \le 0$
Ta có:
$\begin{cases} y_K=x_K+m \\ y_K=-x_K+3 \\ x_K \le 0 \end{cases} \Rightarrow m \ge 3$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $(AB): {x^2} + (m - 3)x - m - 1 = 0$
phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt nên $(AB)$ luôn cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt $A, B$

Ta có: $A(x_1,x_1 + m), B(x_2, x_2 + m)$ nên
$AB^2 = 2\left[ (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2\right]$
$= 2(m^2-2m+13)=2(m-3)^2 +8(m-3)+32 \ge 32$  ( vì  $m \ge 3 )$
$AB$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\sqrt{32} \Leftrightarrow m = 3$

Khi đó tọa độ 2 điểm $A, B$ là nghiệm của hệ $\begin{cases} y = \dfrac{2x + 1}{x - 1} \\ y=x+3 \end{cases}$

Giải hệ được: $A(-2;1), B(2;5)$