Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương và 1 nghiệm âm

Cho hàm số $y = x^3–3x (1)$
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $(1)$
Tìm m để phương trình : $x^{3} – 3x = m^{3} – 3m$ có 2 nghiệm dương và 1 nghiệm âm.

Giải

2. Đặt $t=m^3-3m$, phương trình trở thành: $x^3-3x=t$

Phương trình có 2 nghiệm dương và 1 nghiệm âm $\Leftrightarrow -2 \le t < 0 \Leftrightarrow -2 \le m^3-3m < 0 $
Dựa vào đồ thị , ta có: $ \left[ \begin{align} -2 \le m < -\sqrt{3} \\ 0 < m < \sqrt{3} \end{align} \right.$

Cách khác:

$ -2 \le m^3-3m < 0 \Leftrightarrow \begin{cases} m^3-3m+2 \ge 0 \\ m^3-3m < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (m-1)^2 (m+2) \ge 0 \\ m(m^2-3) < 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \begin{cases}m \ge -2 \\ m < -\sqrt{3} \vee 0 < m < \sqrt{3}\end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{align} -2 \le m < -\sqrt{3} \\ 0 < m < \sqrt{3} \end{align} \right.$

Nếu đề bài yêu cầu phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt và 1 nghiệm âm thì kết quả sẽ khác.