Đường thẳng nối hai cực trị tiếp xúc với đường tròn

Cho hàm số $y=-{x}^{3}-3{x}^{2}+4 \,\, (1)$. Với giá trị nào của $m$ thì đường thẳng nối hai cực trị của đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường tròn $(C): (x-m)^2+(y-m-1)^2=5$

Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị $A(-2;0) , B(0;4)$

nên đường thẳng qua 2 cực trị là $(d): 2x-y+4=0$

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(m;m+1)$ và bán kính $R=\sqrt{5}$

$(d)$ tiếp xúc $(C) \Leftrightarrow d[I,(d)]= R \Leftrightarrow \dfrac{|m+3|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{align} m &= 2 \\ m &= -8 \end{align} \right.$

Tìm phương trình đường thẳng $(AB)$

$(AB)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(2;4)$ nên $\overrightarrow{n}=(2;-1)$ là một vectơ pháp tuyến
$(AB): 2(x-x_A)-(y-y_A)=0 \Leftrightarrow 2x-y+4=0$

Cách khác:

$(AB)$ có hệ số góc $k=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=2$ nên $(AB): y=k(x-x_A)+y_A \Leftrightarrow 2x-y+4=0$