Tiếp tuyến song song

Cho hàm số $y=x^3+3x^2+mx+m \,\, (Cm)$. Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $I(-1;2)$ với hệ số góc $-m$ cắt đồ thị hàm số $(Cm)$ tại $3$ điểm phân biệt $A,B,I$. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(Cm)$ tại $A$ và $B$ song song với nhau.

Giải
Ta có đường thẳng $(d)$ qua điểm $I(-1,2)$ có hệ số góc $-m$ là $(d) : y=-mx+2-m$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và đồ thị $(C_m)$
$x^3+3x^2+mx+m=-mx+2-m \Leftrightarrow (x+1)(x^2+2x+2m-2)=0$

$(d)$ và đồ thị $(C_m)$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt
$\Leftrightarrow x^2+2x+2m-2=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$
$\Leftrightarrow \begin{cases} \Delta ' = 3 - 2m >  0 \\ m \ne \dfrac{3}{2} \end{cases} \Leftrightarrow m <  \dfrac{3}{2}$

Ta có: $(C_m): y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m \Rightarrow y' = 3{x^2} + 6x + m$
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $(C_m)$ tại $A,B$ là : $y' = 3{x^2} + 6x + m=3(x^2+2x+2m-2)+6-5m=6-5m$

Vậy tiếp tuyến tại $A,B$ có cùng hệ số góc mà $A,B$ là hai điểm phân biệt cùng thuộc đồ thị nên tiếp tuyến tại $A,B$ song song, $\forall m < \dfrac{3}{2}$