Tìm tiếp tuyến tại các điểm A thuộc (C) biết tiếp tuyến cắt trục hoành tại B sao cho tam giác OAB cân tại A

Cho hàm số $y = \dfrac{3x- 4}{4x + 3} \quad (C)$

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$.
2. Viết phương trình các tiếp tuyến tại các điểm $A$ thuộc $(C)$ biết tiếp tuyến cắt trục hoành tại $B$ sao cho tam giác $OAB$ cân tại $A$.

Giải

Do $A \in (C): A \left(m; \dfrac{3m- 4}{4m + 3} \right), m \neq -\dfrac{3}{4}$

Gọi $M$ là trung điểm của $OB$, do $\Delta OAB$ cân tại A nên $AM \perp OB$ do đó $M(m; 0)$. Suy ra tọa độ điểm $B(2m; 0)$

Ta có: $\overrightarrow{AB}= \left (m; \dfrac{4-3m}{4m+3}\right )$. suy ra hệ số góc đường thẳng $(AB): k=\dfrac{4-3m}{m(4m+3)}$

Mà ta lại có: $ k=f'(m)=\dfrac{25}{(4m+3)^2}$, từ đó suy ra: $\dfrac{4-3m}{m(4m+3)}=\dfrac{25}{(4m+3)^2} \Leftrightarrow 2m^2+3m-2=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{1} m=-2 \\ m=\dfrac{1}{2} \end{array} \right.$

$m=-2 \Rightarrow A(-2;2); k=2 \Rightarrow (d_1):y=2x+6$

$m=\dfrac{1}{2}\Rightarrow A \left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right); k=1 \Rightarrow (d_2):y=x+1$