Giải phương trình: $\frac{1}{\cos^2x}-(\cos x+\sin x\tan \frac{x}{2})=\frac{\sin (x-\frac{\pi}{6})+\cos(\frac{\pi}{3}-x)}{\cos x}$

Giải phương trình: $\dfrac{1}{\cos^2x}- \left(\cos x+\sin x\tan \dfrac{x}{2}\right) =\dfrac{\sin \left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)+\cos \left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)}{\cos x}$

Giải

Điều kiện: $\begin{cases} \cos x \ne 0 \\ \cos\dfrac{x}{2} \ne 0 \end{cases}$

Ta có: $\dfrac{\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)+\cos \left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)}{\cos x}= \dfrac{\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)+\sin \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)}{\cos x} \\ =\dfrac{2\sin x\cos \dfrac{\pi}{6}}{\cos x} =\sqrt{3}\tan x$

$\left(\cos x+\sin x\tan \dfrac{x}{2}\right)=\cos x+\dfrac{\sin x\sin\dfrac{x}{2}}{\cos\dfrac{x}{2}}=\dfrac{\cos x.\cos\dfrac{x}{2}+\sin x.\sin\dfrac{x}{2}}{\cos\dfrac{x}{2}} \\ =\dfrac{\cos\left(x-\dfrac{x}{2}\right)}{\cos\dfrac{x}{2}}=1$

Phương trình trở thành: $\dfrac{1}{\cos^2x}-1=\sqrt{3}\tan x \Leftrightarrow \tan^2 x-\sqrt{3}\tan x=0 $

Vế phải có thể biến đổi bằng cách khai triển công thức cộng rồi đơn giản