Giải phương trình $\log_7 x = \log_3 (2+\sqrt{x})$

Giải phương trình $ \log_7 x = \log_3 (2+\sqrt{x})$

ĐK: $x>0$

Đặt $2t=\log_3 (2+\sqrt{x}) (\mbox{ĐK } t > \dfrac{1}{2}\log_3 2) \\ \Leftrightarrow 2+\sqrt{x}=3^{2t} \Leftrightarrow x=(3^{2t}-2)^2$

Phương trình trở thành $ \log_7(3^{2t}-2)=t \Leftrightarrow 3^{2t}-2=7^t \Leftrightarrow \left (\dfrac{7}{9} \right )^t+2 \left(\dfrac{1}{9} \right)^t-1=0$

Xét hàm số $g(t)=\left (\dfrac{7}{9} \right)^t+2\left ( \dfrac{1}{9} \right)^t-1 $ trên $ (\frac{1}{2}\log_3 2;+\infty ) $
$ g'(t)=\left ( \dfrac{7}{9} \right)^t \ln \dfrac{7}{9}+2\left ( \dfrac{1}{9} \right)^t \ln \dfrac{1}{9} < 0 , \forall t \in (\frac{1}{2}\log_3 2;+\infty )$

nên $g(t)$ nghịch biến trên $(\frac{1}{2}\log_3 2;+\infty )$
mà $g(1)=0$ nên $t=1 \Leftrightarrow x=49 $

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=49$