11 tháng 11, 2013

Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho đường thẳng qua M cắt (C) tại 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua M

Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x−1}$ có đồ thị là $(C)$. Tìm tất cả các điểm $M$ thuộc trục tung sao cho từ $M$ ta kẻ được đường thẳng cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua $M$.

Đường thẳng qua $M(0;m)$ có hệ số góc $k$ là $(d):y=kx+m$

phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $(d)$ là $kx^2+(m-k-2)x-m-1=0$

$(d)$ cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow \begin{cases}k \ne 0 \\ \Delta =(m-k-2)^2-4k(-m-1)>0 \end{cases}$

Hoành độ 2 giao điểm $A$ và $B$ thỏa $x_A+x_B=\dfrac{k-m+2}{k}$

$M$ là trung điểm $AB \Leftrightarrow \begin{cases} x_A +x_B=2x_M \\ \mbox{A, M, B thẳng hàng (đúng)}\end{cases} \Leftrightarrow x_A +x_B=0 \\ \Leftrightarrow k-m+2=0 \Leftrightarrow k=m-2$

Khi đó $\Delta = (m-2)(m+1)>0 \Leftrightarrow m < -1 \vee m > 2$

Kết luận: Điểm $M(0;m)$ với $m< -1 \vee  m > 2$ thì đường thẳng $(d): y= (m-2)x+m$ cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt $A, B$ đối xứng nhau qua $M$

Không có nhận xét nào :

Đăng nhận xét

Chào bạn, nếu có thắc mắc, khen - chê xin để lại bình luận. Mỗi nhận xét của bạn đều rất quan trọng. Rất vui khi bạn viết bằng tiếng Việt có dấu.