Tìm a để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt: $\log_3x^2+a\sqrt{\log_3x^8}+a=-1$

Tìm $a$ để phương trình sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt: $\log_3 x^2+ a \sqrt{\log_3 x^8}+a+1=0$

Điều kiện: $x \ne 0$
Phương trình tương đương: $\log_3 x^2+2a \sqrt{\log_3 x^2}+a+1=0 \;\; (1)$

Đặt $t=\sqrt{\log_3 x^2} (x^2 \ge 1; \,\, t \ge 0) $

Phương trình trở thành: $ t^2+2at+a+1=0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{t^2+1}{2t+1}=-a \;\; (2)$
 ($t=-\frac{1}{2}$ không là nghiệm)

Để (1) có đúng 2 nghiệm thực thì (2) có duy nhất một nghiệm không âm.

Xét hàm số : $f(t)=\dfrac{t^2+1}{2t+1}$ với $t \ge 0$

Lập bảng biến thiên
ta thu được kết quả: $ \left [ \begin{matrix}-a > 1 \\ -a = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \end{matrix}\right.  \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} a < -1 \\ a = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.$