Giải phương trình $\sin^m x+\cos^n x=1$

Phương trình $ \sin^m x + \cos^n x=1$

$ \Leftrightarrow \sin^m x +\cos^n x = \sin^2x + \cos^2x$
$ \Leftrightarrow \sin^2x(1 - \sin^{m-2}x) + \cos^2x(1 -\cos^{n-2}x) =0 \;\; (*)$

Do $  \begin{cases} \sin^2 x(1 - \sin^{m-2}x) \ge 0 \\ \cos^2 x(1 -\cos^{n-2}x) \ge 0 \end{cases}  \;\; \forall x \in \mathbb{R} $
 nên:

$ (*)  \Leftrightarrow \begin{cases} \sin^2 x(1 - \sin^{m-2}x) = 0 \\ \cos^2 x(1 -\cos^{n-2}x) = 0 \end{cases} $
$\Leftrightarrow  \begin{cases}
\left [{\begin{matrix}\sin x=0 \\ \sin^{m-2}x=1 \end{matrix}}\right. \\
\left [{\begin{matrix}\cos x=0 \\ \cos^{n-2}x=1 \end{matrix}}\right. \end{cases}  \Leftrightarrow \left [{\begin{matrix}\sin^{m-2}x=1 \\ \cos^{n-2}x=1 \end{matrix}}\right.$

Trường hợp $\sin^mx + \cos^nx=-1 $ giải tương tự