Tích phân từng phần

Tính  các tích phân sau:
a) $A= \displaystyle \int \limits_{1}^{3} \dfrac{3+\ln x}{(x+1)^2}dx$
b) $B = \displaystyle \int \limits_{0}^{1} x\ln (x^2+1)dx$
c) $C = \displaystyle \int \limits_{0}^{1} \dfrac{\ln (2x^2 +4x +1)}{(x+1)^3}dx$
d) $D = \displaystyle \int \limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\ln (\sin x +\cos x)}{\sin ^2x}dx$
e) $E = \displaystyle \int \limits_{0}^{1} \dfrac{3x+4}{(2x+1)^2 (5x+3)}dx$

Giải toán bằng phương pháp quy nạp

Giải toán bằng phương pháp quy nạp

Hôm nay chúng ta sẽ học về phép quy nạp toán học. Thông thường, chúng ta sẽ dùng quy nạp để chứng minh một phát biểu nào đó đúng với mọi số tự nhiên.

Phân tích nhanh một phân thức

Khi ta cần phân tích $\dfrac{P(x)}{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}=\dfrac{A}{x-x_1}+\dfrac{B}{x-x_2}+\dfrac{C}{x-x_3}$ (bậc của $P(x)$ nhỏ hơn 3)

Phương pháp chung của dạng toán này là bạn phải sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số: quy đồng mẫu số rồi đồng nhất hệ số hai vế để xác định các hệ số A, B, C. Tuy nhiên, nếu làm theo cách này sẽ rất lâu và tốn nhiều công sức.

Có thể cải tiến bằng cách: sau khi quy đồng mẫu số thì cho x những giá trị đặc biệt để xác định A, B, C thay cho việc đồng nhất hệ số. Đây cũng là 1 cách hay.

Tuy nhiên, có một cách khác, giúp ta tính nhanh các hệ số mà không cần phải trải qua bước quy đồng mẫu số. $\dfrac{P(x)}{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}=\dfrac{A}{x-x_1}+\dfrac{B}{x-x_2}+\dfrac{C}{x-x_3}$

Để xác định hệ số A, ta chỉ cần che biểu thức $(x-x_1)$ ở vế trái lại, nghĩa là khi đó ở vế trái ta sẽ có: $\dfrac{P(x)}{(x-x_2)(x-x_3)} \,\, (*)$ . Sau đó thế $x=x_1$ vào (*) thì giá trị tính được chính là hệ số A, hay: $A=\dfrac{P(x_1)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)} $

Tương tự: Để xác định hệ số B, ta chỉ cần che biểu thức $(x-x_2)$ ở vế trái lại, nghĩa là khi đó ở vế trái ta sẽ có: $\dfrac{P(x)}{(x-x_1)(x-x_3)} \,\, (**)$. Sau đó thế $x=x_2$ vào (**) thì giá trị tính được chính là hệ số B, hay: $B=\dfrac{P(x_2)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)} $

Tương tự: $C=\dfrac{P(x_3)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)} $

Ví dụ: $\dfrac{3x-4}{x(x+1)(x-2)} $ $=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{x-2}$

Che thừa số $x$ ở mẫu số và thế $x = 0$ vào phân thức ta có: $A=2$

Tương tự, che thừa số $(x+1)$ ở mẫu số rồi thế $x = -1$ vào phân thức ta có: $B=\dfrac{-7}{3}$ và che thừa số $(x-2)$ lại rồi thế $x = 2$ vào phân thức ta có: $C=\dfrac{1}{3}$

Như vậy bạn sẽ có: $\dfrac{3x-4}{x(x+1)(x-2)}=\dfrac{2}{x}-\dfrac{7}{3(x+1)}+\dfrac{1}{3(x-2)}$

Lưu ý: Cách này chỉ áp dụng cho phân thức có mẫu là tích các thừa số bậc nhất

Giải phương trình: $21x-25+2\sqrt{x-2}=19\sqrt{x^2-x-2}+\sqrt{x+1}$

Giải phương trình: $21x - 25 + 2\sqrt {x - 2} = 19\sqrt{x^2 - x - 2} + \sqrt {x + 1}$

Giải phương trình $\sin^m x+\cos^n x=1$

Phương trình $ \sin^m x + \cos^n x=1$