Tích phân từng phần

Tính  các tích phân sau:
a) $A= \displaystyle \int \limits_{1}^{3} \dfrac{3+\ln x}{(x+1)^2}dx$
b) $B = \displaystyle \int \limits_{0}^{1} x\ln (x^2+1)dx$
c) $C = \displaystyle \int \limits_{0}^{1} \dfrac{\ln (2x^2 +4x +1)}{(x+1)^3}dx$
d) $D = \displaystyle \int \limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\ln (\sin x +\cos x)}{\sin ^2x}dx$
e) $E = \displaystyle \int \limits_{0}^{1} \dfrac{3x+4}{(2x+1)^2 (5x+3)}dx$

Hướng dẫn
Công thức tính tích phân từng phần: $ \displaystyle \int \limits_{a}^{b}u.dv = u.v \Big| _{a}^{b}-  \displaystyle \int \limits_{a}^{b}v.du $
Ta có: $v = \int dv + C$, thông thường ta chọn $C=0$ trong nhiều trường hợp chọn $C$ khác 0 thì bài toán dễ tính hơn.

a) Đặt $\begin{cases}u=3+\ln x \\dv=\dfrac{1}{(x+1)^2}dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\dfrac{1}{x}dx \\v=-\dfrac{1}{x+1} \mathbf{\color{Red} {+1}} =\dfrac{x}{x+1}\end{cases}$
$A= \left [\dfrac{x}{x+1}(3+\ln x) \right ] \Big| _{1}^{3} - \displaystyle \int \limits_{1}^{3} \dfrac{1}{x+1}dx$

b) Đặt $\begin{cases}u=\ln (x^2 +1) \\dv=xdx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\dfrac{2x}{x^2 +1}dx \\v=\dfrac{x^2}{2} \mathbf{\color{Red} {+\dfrac{1}{2}}} =\dfrac{x^2+1}{2}\end{cases}$
$B= \left [\dfrac{x^2+1}{2}\ln (x^2+1) \right ] \Big| _{0}^{1} - \displaystyle \int \limits_{0}^{1} xdx$

c) Đặt $\begin{cases}u=\ln (2x^2+4x+1) \\dv=\dfrac{1}{(x+1)^3}dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\dfrac{4x+4}{2x^2 +4x+1}dx \\v=\dfrac{-1}{2(x+1)^2} \mathbf{\color{Red} {+1}} =\dfrac{2x^2+4x+1}{2(x+1)^2}\end{cases}$
$C= \left [\dfrac{2x^2 +4x+1}{2(x+1)^2}+\ln (2x^2 +4x+1) \right ] \Big| _{0}^{1} - \displaystyle \int \limits_{0}^{1} \dfrac{2}{x+1}dx$

d) Đặt $\begin{cases}u=\ln (\sin x +\cos x) \\dv=\dfrac{1}{\sin ^2 x}dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\dfrac{\cos x -\sin x}{\sin x + \cos x}dx \\v=-\cot x  \mathbf{\color{Red} {-1}} =\dfrac{-\cos x -\sin x}{\sin x}\end{cases}$
$D= -(\cot x +1)\ln (\sin x +\cos x) \Big| _{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} + \displaystyle \int \limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x -\sin x}{\sin x+1}dx$