Giải phương trình: $21x-25+2\sqrt{x-2}=19\sqrt{x^2-x-2}+\sqrt{x+1}$

Giải phương trình: $21x - 25 + 2\sqrt {x - 2} = 19\sqrt{x^2 - x - 2} + \sqrt {x + 1}$

ĐK: $x \ge 2$

Phương trình tương đương: $21x - 25 + 2\sqrt {x - 2} - 19\sqrt{(x+1)(x- 2)} - \sqrt {x + 1}=0$
$\Leftrightarrow 15(x-2)+6(x+1)-1+ 2\sqrt {x - 2} - 19\sqrt{(x+1)(x- 2)} - \sqrt {x + 1}=0 (*)$

Đặt $u=\sqrt{x-2}\ge 0 ; v=\sqrt{x+1} \ge \sqrt{3}$

$(*) \Leftrightarrow 15u^2+(2-19v)u+6v^2-v-1=0$

$\Delta =(2-19v)^2-60(6v^2-v-1)=(v-8)^2$

$(*) \Leftrightarrow \left[ \begin{align} u=\dfrac{-(2-19v)+(v-8)}{30}=\dfrac{2v-1}{3} \\ u=\dfrac{-(2-19v)-(v-8)}{30}=\dfrac{3v+1}{5} \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} 3\sqrt{x-2}=2\sqrt{x+1}-1 \\ 5\sqrt{x-2}=3\sqrt{x+1}+1 \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} 3\sqrt{x-2}+1=2\sqrt{x+1} \\ 5\sqrt{x-2}=3\sqrt{x+1}+1 \end{align} \right.$

Bình phương 2 vế. Bài toán coi như xong !

Tại sao lại tách $21x-25=15(x-2)+6(x+1)-1 ?$

Đặt $21x-25=au^2+bv^2+c \Leftrightarrow \begin{cases} 21=a+b \\ -25=-2a+b+c \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b=21-a \\ c=3a-46 \end{cases}$

Thế vào phương trình: $au^2+(2-19v)u+bv^2-v+c=0$

$\Delta = (361-4ab)v^2+2(2a-38)v+4-4ac$

Để $\Delta$ là bình phương nhị thức thì:

$\delta_{\Delta}=0 \Leftrightarrow (2a-38)^2-(361-4ab)(4-4ac)=0 \\ \Leftrightarrow (2a-38)^2-4(361-84a+4a^2)(1+46a-3a^2)=0$

Dùng chức năng SOLVE của máy tính tìm $a=0 \mbox{ (loại)};6;15;\dfrac{46}{3}$, chọn số đẹp $a=15$. Do đó $21x-25=15(x-2)+6(x+1)-1$