Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3-3x^2-9x+22=y^3+3y^2-9y \\ x^2+y^2-x+y=\frac{1}{2} \end{cases}$

Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3-3x^2-9x+22=y^3+3y^2-9y \\ x^2+y^2-x+y=\dfrac{1}{2} \end{cases}$

Hệ phương trình $\Leftrightarrow \begin{cases} x^3-y^3-3x^2-3y^2-9x+9y+22=0 \\ x^2+y^2-x+y=\dfrac{1}{2} \end{cases} \\ \Leftrightarrow \begin{cases} (x-y)(x^2+y^2+xy)-3(x^2+y^2)-9(x-y)+22=0 \\ (x^2+y^2)-(x-y)=\dfrac{1}{2} \end{cases}$

Đặt $\begin{cases} S=x-y \\ P=x(-y)\end{cases}$ ĐK: $S^2-4P \ge 0$

Ta có $x^2+y^2=S^2-2P$

Hệ trở thành: $\begin{cases} S^3-3PS-3S^2+6P-9S+22=0  \,\, (1) \\ S^2-2P-S=\dfrac{1}{2} (2) \,\, \end{cases}$

$(1) \Leftrightarrow P=\dfrac{2S^2-2S-1}{4} \,\, (3)$

Thế $(3)$ vào $(1) : -2S^3+6S^2-45S+82=0 \Leftrightarrow S=2 \Rightarrow P=\dfrac{3}{4}$

$x, -y$ là nghiệm của phương trình $X^2-2X+\dfrac{3}{4} \Leftrightarrow X=\dfrac{1}{2} \vee X=\dfrac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x=\dfrac{1}{2}\\ y=-\dfrac{3}{2}\end{cases} \vee \begin{cases} x=\dfrac{3}{2}\\ y=-\dfrac{1}{2}\end{cases}$