Giải hệ phương trình : $\begin{cases}x^2-2xy+2y+15=0 \\ 2x-2xy+y^2+5=0 \end{cases}$

Giải hệ phương trình : $\begin{cases}x^2-2xy+2y+15=0 \;\;  (1)\\ 2x-2xy+y^2+5=0 \;\; (2) \end{cases}$


Ý tưởng: Dùng phương pháp cộng đại số để đưa về một phương trình bậc 2 theo biến $x$ hoặc $y$ sao cho khi ta lấy $\Delta$ thì được một số chính phương.

Ta sẽ đưa hệ về dạng: $\begin{cases} x^2-2xy+2y+15=0 \\ a(2x-2xy+y^2+5)=0 \end{cases}$ ($a \neq 0$)

Khi đó cộng vế theo vế, rồi quy về phương trình bậc 2 của ẩn $x$, ta được: $x^2-2(y+ay-a)x+ay^2+2y+5a+15=0$

Khi đó ta có: $\Delta ' = (y+ay-a)^2-(ay^2+2y+5a+15) \\ = (a^2+a+1)y^2-2(a^2+a+1)y+(a^2-5a-15)$

Tới đây ta cần $\Delta '$ là một số chính phương nên ta cần có: $\delta_{\Delta '}=0 \Leftrightarrow (a^2+a+1)^2-(a^2+a+1)(a^2-5a-15)=0$

Dùng chức năng SOLVE của máy tính tìm được $a=-\dfrac{8}{3}$

Hệ phương trình tương đương: $\begin{cases}x^2-2xy+2y+15 &=& 0 \;\;\ (1) \\ -\dfrac{8}{3}(2x-2xy+y^2+5) &=& 0 \;\;  (2) \end{cases}$

Cộng (1) và (2): $3(x^2-2xy+2y+15)-8(2x-2xy+y^2+5)=0 \\ \Leftrightarrow 3x^2+2(5y-8)x-8y^2+6y+5=0 \;\; (*)$

Ta có: $\Delta ' = (5y-8)^2-3(-8y^2+6y+5)=(7y-7)^2$

$(*) \Leftrightarrow \left[ \begin{align} x &= \dfrac{-(5y-8)+(7y-7)}{3} = \dfrac{2y+1}{3}\\ x &=\dfrac{-(5y-8)-(7y-7)}{3}= -4y+5 \end{align} \right.$

Trường hợp $x =\dfrac{2y+1}{3}$

Thế vào (1): giải được ...

Trường hợp $x =-4y+5$

Thế vào (1): giải được ...