Giải $(x+2)^x=x^{x+2}$

Giải phương trình:  $(x+2)^x=x^{x+2}$


ĐK: x > 0
Ta có x = 1 không là nghiệm
Lấy logarit Nêpe hai vế:  $x\ln(x+2)=(x+2)\ln x \\ \Leftrightarrow x\ln(x+2)-(x+2)\ln x=0 \\ \Leftrightarrow  x\ln \dfrac{x+2}{x}-2\ln x=0$
Xét hàm số $f(x)=x\ln \dfrac{x+2}{x}-2\ln x \; , \; x > 0$
$f'(x)=\ln \dfrac{x+2}{x}+x\dfrac{x}{x+2}.\dfrac{-2}{x^2}-\dfrac{2}{x}=\ln \left (1+\dfrac{2}{x}\right)-\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x+2}$
Xét hàm số  $g(t)=\ln t +1-t \; , \; t \ge 1$
$g'(t)=\dfrac{1}{t}-1=\dfrac{1-t}{t} \le 0$  nên g(t) nghịch biến trên $[1;+\infty )$
suy ra $g(t) < g(1) \; , \; \forall t>1$ hay   $g\left (1+\dfrac{2}{x}\right) =\ln \left (1+\dfrac{2}{x}\right)-\dfrac{2}{x} < 0$
Do đó $f'(x)=\ln \left (1+\dfrac{2}{x}\right)-\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x+2} < 0 \; , \; \forall x > 0$
hàm số $f(x)$ nghịch biến trên  $(0;+\infty )$ mà $f(2)=0$
nên phương trình có nghiệm $x=2$