Tìm m để phương trình $x^4-mx^3+(m+1)x^2-2x+1=0 \;\; (1)$ vô nghiệm
Biến đổi phương trình $x^4-mx^2(x-1)+(x-1)^2=0$
* Ta có $x=1$ không là nghiệm
Chia 2 vế cho $(x-1)^2$ ta được $\left ( \dfrac{x^2}{x-1} \right )^2 -m\left ( \dfrac{x^2}{x-1} \right ) +1 = 0 \;\; (2)$
Đặt $t=\dfrac{x^2}{x-1}$
pt $x^2-tx+t=0$ có nghiệm khác 1 $\Leftrightarrow t \le 0 \vee t \ge 4$
$(2) \Leftrightarrow t^2-mt+1=0 \Leftrightarrow t + \dfrac{1}{t} = m \;\; (3)$ (vì t = 0 không là mghiệm)
Xét hàm số $f(t)= t + \dfrac{1}{t}$ trên $(-\infty ;0) \cup [4;+\infty)$
Lập bảng biến thiên, ta có kết quả: $-2 < m < \dfrac{17}{4}$
lập bảng biến thiên thế nạo thầy...
Trả lờiXóaNếu chưa học bảng biến thiên thì có thể dùng cách khác.
Xóa* $t<0$: $-f(t)=(-t)+\dfrac{1}{(-t)} \ge 2 \Leftrightarrow f(t) \le -2$
* $t \ge 4$: $f(t)=\dfrac{t}{16}+\dfrac{1}{t}+\dfrac{15t}{16} \ge \dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}$
Vậy phương trình vô nghiệm khi $-2<m<\dfrac{17}{4}$