Nguyên hàm $I=\int \sqrt{ax^2+bx+c} \mbox{d}x $

Nguyên hàm dạng: $I=\int \sqrt{ax^2+bx+c} dx (a>0)$

$\begin{align} u=\sqrt{ax^2+bx+c} &\Rightarrow du=\dfrac{2ax+b}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}dx \\ dv=dx &\Rightarrow v=x \end{align}$

Ta có:

$\begin{align}I &=x\sqrt{ax^2+bx+c}-\int \dfrac{2ax^2+bx}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}dx \\&=x\sqrt{ax^2+bx+c}-\int \dfrac{2(ax^2+bx+c)-\frac{b}{2a}(2ax+b)+\frac{b^2}{2a}-2c}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}dx \\&=x\sqrt{ax^2+bx+c}-I+\dfrac{b}{4a}\int \dfrac{2ax+b}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\int \dfrac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx \\&=x\sqrt{ax^2+bx+c}-I+\dfrac{b}{4a}I_1-\dfrac{b^2-4ac}{4a}I_2 \end{align}$

$\Leftrightarrow 2I = x\sqrt{ax^2+bx+c}+\dfrac{b}{4a}I_1-\dfrac{b^2-4ac}{4a}I_2$

Tính $I_1$ : Đặt $t= \sqrt{ax^2+bx+c}$

Tính $I_2$: Xem cách tính tại đây


Vậy ta tính được I (mặc dù có hơi dài nhưng giải được)

VÍ DỤ: XEM TẠI ĐÂY