Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $A=2x^2-xy+2y^2$

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $A=2x^2-xy+2y^2$ với x, y thực thỏa $x^2-xy+y^2=3$ .


Ta có $P=\dfrac{A}{3} =\dfrac{ 2x^2-xy+2y^2}{x^2-xy+y^2}$
* Nếu $y=0$ thì $P=2$
* Xét $y \neq 0$:  $P= \dfrac{2\left (\dfrac{x}{y} \right )^2 -\left (\dfrac{x}{y} \right ) + 2}{\left (\dfrac{x}{y} \right )^2 -\left (\dfrac{x}{y} \right ) +1 }$

Đặt  $t= \dfrac{x}{y} $
$P=\dfrac{2t^2-t+2}{t^2-t+1}  \Leftrightarrow  (P-2)t^2+(1-P)t+P-2=0 \;\; (1)$
(1) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta \ge 0 \\ \Leftrightarrow 3P^2-14P+15 \le 0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{5}{3} \le P \le 3$

$P$ đạt GTLN là 3 $ \Leftrightarrow max A = 9 \\ \Leftrightarrow t = \dfrac{P-1}{2(P-2)} = 1\\ \Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{x}{y}=1 \\ x^2-xy+y^2=3 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} x=y=\sqrt{3} \\ x=y=-\sqrt{3} \end{matrix}\right.$

 $P$ đạt GTNN là $\dfrac{5}{3}  \Leftrightarrow min A = 5 \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} x=-y=1 \\ x=-y=-1 \end{matrix}\right.$

# Ta có thể khảo sát hàm số $f(t)= \dfrac{2t^2-t+2}{t^2-t+1}$ trên R để có kết quả.