Định a để phương trình có nghiệm duy nhất.

Định a để phương trình: $\log_3 (x^2+4ax)+\log_{\frac{1}{3}} (2x-2a-1)=0 \;\; (1)$ có nghiệm duy nhất.

Phương trình tương đương
$ \Leftrightarrow \log_3 (x^2+4ax) = \log_3 (2x-2a-1)$
$ \Leftrightarrow \begin{cases} 2x-2a-1>0 \\ x^2+4ax = 2x-2a-1 \end{cases}$
$ \Leftrightarrow \begin{cases} x >a+\dfrac{1}{2} \\ x^2+4ax = 2x-2a-1 \end{cases} \;\; (*)$

Đặt $t= x-a-\dfrac{1}{2}$

$ (*) \Leftrightarrow \begin{cases} t > 0 \\ t^2+(6a-1)t+5a^2+3a+\dfrac{1}{4}=0 \;\; (2) \end{cases}$
Ycbt  $ \Leftrightarrow$ (2) có nghiệm dương duy nhất $ \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} t_1 \le 0 <  t_2 \\ t_1 = t_2 >0 \end{matrix}\right.
\\ \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} P < 0 \\ P = 0 \wedge S > 0 \\ \Delta = 0 \wedge -\dfrac{b}{2a}>0 \end{matrix}\right.
\\ \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} -\dfrac{1}{2} \le a < -\dfrac{1}{10} \\ a = 0 \end{matrix}\right. $