Đề thi minh họa - Kỳ thi THPT Quốc gia 2015

Đề thi thử Quốc gia

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số $y =- 2{x^3} + 6{x^2} + 1$
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng $y = mx + 1$ cắt đồ thị (C)tại ba điểm phân biệt M(0;1), N, P sao cho N là trung điểm của MP

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình $(2\cos x + \sin x -\cos2x)\cos x = 1+ \sin x$

Câu 3 (1,0 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=\dfrac{1}{x}$ và đường thẳng $y = -2x + 3$

Câu 4 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình ${\log _3}{(x - 1)^2} + {\log _{\sqrt 3 }}(2x - 1) = 2$
b) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh đi làm nhiệm vụ. Tính xác suất để trong 4 học sinh được chọn không quá 2 trong 3 lớp trên.

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có các đỉnh lần lượt là A(1;-2;3) B(2;1;0) C(0;-1;-2) Viết phương trình đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, SA = SB = a ; SD= $a\sqrt{2}$ và mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AC = 2AB . Điểm M(1;1) là trung điểm BC, N thuộc cạnh AC sao cho NC = 3AN, điểm D thuộc BC sao cho AD đối xứng với AM qua tia phân giác trong góc $\widehat{BAC}$. Đường thẳng DN có phương trình $3x-2y+8=0$ Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết C thuộc đường thẳng $d: x + y -7 = 0$

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered}   2{x^2} - 5xy - {y^2} = 1 \\   y\left( {\sqrt {xy - 2{y^2}}  + \sqrt {4{y^2} - xy} } \right) = 1\\ \end{gathered}  \right.$

Câu 9 (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: $$A = \dfrac{{{x^2}y + {y^2}z + {z^2}x}}{{{x^4} + {y^4} + {z^4}}}$$
(Theo k2pi.net)

Đề thi tuyển vào lớp chất lượng cao ĐH Sư Phạm Hà Nội

Đề thi tuyển vào lớp chất lượng cao ĐH Sư Phạm Hà Nội Năm 2014
Môn toán 2
Thời gian làm bài 180 phút

Câu I. (2,0 điểm)
1) Tính giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm thực : $x\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=m(\sqrt{2-x}+\sqrt{1-x})$
2) Giải phương trình sau trong tập các số phức $\mathbb{C}$ : $x^3+6x^2+12x+7=0$

Câu II.( 3,0 điểm)
1) Tìm giới hạn $ \lim_{n\rightarrow +\infty }\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}$ , $n$ dấu căn
2) Cho $f(x)=\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}.$ Chứng minh rằng :$\dfrac{5}{2} <\int\limits_{2}^{3}f(x)dx < \dfrac{9\sqrt{2}}{4 }$

Câu III. (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(1,2,3),B(-1,2,4)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+y+z=0.$ Tìm điểm $M$ thuộc $(P)$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất

Câu IV (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho Elip $(E): \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$ và đường thẳng $\Delta: x-y-9=0$
1) Tìm trên $E$ điểm $M$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $\Delta$ nhỏ nhất.
2) Một hình chữ nhật được gọi là ngoại tiếp $(E)$ nếu các cạnh của chúng đều tiếp xúc với $(E).$ Trong các hình chữ nhật ngoại tiếp $(E)$ , tìm hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất.

Câu V (1,0 điểm)
Cho tập $S=\begin{Bmatrix}1,2,3,...,19,20 \end{Bmatrix}.$ Có bao nhiêu cách chọn một bộ năm số (không kể thứ tự ) trong $S$ sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu $2$ số bất kỳ đều lớn hơn hoặc bằng $2$ ?

Câu VI (1,0 điểm)
Cho số nguyên dương $M>3.$ Giả sử $x_1,x_2,...,x_{2014}$ là các số nguyên dương sao cho $x_1.x_2.....x_{2014}=M.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S=x_{1}^3+x_{2}^3+...+x_{2014}^3$  

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI LỚP 12

Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 thành phố Hà Nội năm học 2013-2014


Bài 1 (5 điểm) Cho hàm số $y=x^3-3x+4$ có đồ thị (C).
a) Tìm các điểm M,N cùng nằm trên (C) so cho điểm $I(\frac{1}{2}; 2)$ là trung điểm của đoạn thằng MN.
b) Cho 3 điểm phân biệt A,B,C cùng thuộc (C). Các tiếp tuyến của (C) tại A,B,C cắt (C) tại điểm thứ hai lần lượt là A’,B’,C’. Chứng minh rằng: Nếu A,B,C thẳng hàng thi A’,B’,C’ cũng thẳng hàng.

Bài 2 (5 điểm)
a) Giải phương trình: $2x^2+2x+5=(4x-1)\sqrt{x^2+3}$
b) Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^3-y^3+3x^2+6x-3y+4=0 \\ 2\sqrt{4-x^2}-3\sqrt{3+2y-y^2}-3x+2=0 \end{cases}$

Bài 3 (2 điểm).
Cho các số thực a,b,c sao $a \geq 0, b \geq 0, 0 \leq c \leq 1$ và $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: $P=2ab+3bc+3ca+\dfrac{6}{a+b+c}$

Bài 4 (5 điểm) Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Đặt $\widehat {xOy}=\alpha , \, \widehat {yOz}=\beta , \, \widehat {zOx}=\gamma.$; Lấy các điểm A,B,C lần lượt trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho OA = OB = OC = a với a > 0.
a) Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho BM = 2MC và I là trung điểm của đoạn thẳng AM. Tính độ dài đoạn thẳng OI theo a trong trường hợp $\alpha=\gamma =60^0, \beta =90^0$
b) Chứng minh rằng $\cos \alpha + \cos \beta + \cos\gamma > -\dfrac{3}{2}$

Bài 5 (3 điểm)
Cho dãy $\left\{\begin{matrix} u_1=2 \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{2014}+\dfrac{2013}{2014}u_n, \,\, n=1,2... \end{matrix}\right.$
a) Chứng minh rằng $(U_n)$ là dãy số tăng.
b) Với mỗi $n\geq 1, n \in N$ đặt $v_n=\dfrac{u_n}{u_{n+1}-1}$. Chứng minh rằng: $V_1+V_2+…+V_n < 2014$ với mọi $n \geq 1$.

Đề thi học kỳ 2 trường Phổ thông năng khiếu

Đề thi học kỳ 2 trường Phổ thông năng khiếu

Bài 1: Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{x^3}{3}+x^2-3x+\dfrac{7}{3} \,\, (C)$
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến $(d_1), \, (d_2)$ của $(C)$ đi qua điểm $A(1;-2)$.
c) Tính diện tích hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đường cong $(C)$ và 2 tiếp tuyến $(d_1), \, (d_2)$.

Bài 2:
a) Giải phương trình $\dfrac{4^{3x}-3^{3x}}{4^x -3^x}=12^x +9^x +4^{x+1}-3$
b) Giải bất phương trình $\log_{9-x^2}\sqrt{2x+1} \ge \dfrac{1}{2}$

Bài 3:
a) Tính $I=\int_{e}^{e^2}x\ln^2 xdx$
b) Giải phương trình sau trong tập số phức: $z^4-6z^2+25=0$

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho các điểm $A(2;3;1), B(-1;2;0), C(1;1;-2), D(1;2;3)$.
a) Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với $AD$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ bằng $2\sqrt{6}$.
b) Viết phương trình đường thẳng $(d)$ qua điểm $D$ sao cho $(d) \perp AB$ và $(d)$ song song với mặt phẳng $(ABC)$.
c) Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm thuộc đường thẳng $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{2}$ và $A, B$ thuộc mặt cầu $(S)$.