ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI LỚP 12

Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 thành phố Hà Nội năm học 2013-2014


Bài 1 (5 điểm) Cho hàm số $y=x^3-3x+4$ có đồ thị (C).
a) Tìm các điểm M,N cùng nằm trên (C) so cho điểm $I(\frac{1}{2}; 2)$ là trung điểm của đoạn thằng MN.
b) Cho 3 điểm phân biệt A,B,C cùng thuộc (C). Các tiếp tuyến của (C) tại A,B,C cắt (C) tại điểm thứ hai lần lượt là A’,B’,C’. Chứng minh rằng: Nếu A,B,C thẳng hàng thi A’,B’,C’ cũng thẳng hàng.

Bài 2 (5 điểm)
a) Giải phương trình: $2x^2+2x+5=(4x-1)\sqrt{x^2+3}$
b) Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^3-y^3+3x^2+6x-3y+4=0 \\ 2\sqrt{4-x^2}-3\sqrt{3+2y-y^2}-3x+2=0 \end{cases}$

Bài 3 (2 điểm).
Cho các số thực a,b,c sao $a \geq 0, b \geq 0, 0 \leq c \leq 1$ và $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: $P=2ab+3bc+3ca+\dfrac{6}{a+b+c}$

Bài 4 (5 điểm) Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Đặt $\widehat {xOy}=\alpha , \, \widehat {yOz}=\beta , \, \widehat {zOx}=\gamma.$; Lấy các điểm A,B,C lần lượt trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho OA = OB = OC = a với a > 0.
a) Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho BM = 2MC và I là trung điểm của đoạn thẳng AM. Tính độ dài đoạn thẳng OI theo a trong trường hợp $\alpha=\gamma =60^0, \beta =90^0$
b) Chứng minh rằng $\cos \alpha + \cos \beta + \cos\gamma > -\dfrac{3}{2}$

Bài 5 (3 điểm)
Cho dãy $\left\{\begin{matrix} u_1=2 \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{2014}+\dfrac{2013}{2014}u_n, \,\, n=1,2... \end{matrix}\right.$
a) Chứng minh rằng $(U_n)$ là dãy số tăng.
b) Với mỗi $n\geq 1, n \in N$ đặt $v_n=\dfrac{u_n}{u_{n+1}-1}$. Chứng minh rằng: $V_1+V_2+…+V_n < 2014$ với mọi $n \geq 1$.