Tính diện tích tam giác ABC

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với đường cao AH có phương trình $3x+4y+10=0$ và đường phân giác trong BE có phương trình $x-y+1=0$. Điểm $M(0;2)$ thuộc đường thẳng AB và cách đỉnh C một khoảng là $\sqrt{2}$. Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn

- Tìm điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua đường phân giác $BE$, suy ra $M'$ nằm trên đường thẳng $BC$

- Viết phương trình đường thẳng $BC$: qua điểm $M'$ và vuông góc với $(AH)$

- Điểm $B$ là giao điểm của $(BC)$ và $(BE)$: $B(4;5)$

- Viết đường thẳng $(AB)$ qua $B$ và $M$

- Điểm $A$ là giao điểm của $(AB)$ và $(AH)$: $A \left(-3;-\dfrac{1}{4} \right)$

- Điểm $C$ thuộc $(BC)$ và $MC=\sqrt{2}$, tìm được $C(1;1)$ và $C(\frac{31}{25};\frac{33}{25})$

Thử: Thế tọa độ điểm $A$ và $C$ vào vế trái của phương trình đường thẳng $(BE)$. Nếu được 2 giá trị trái dấu thì $A, C$ nằm khác phía đối với $(BE)$ nên $(BE)$ là phân giác trong của $\Delta ABC$; nếu được 2 giá trị cùng dấu thì $A, C$ nằm cùng phía đối với $(BE)$ nên $(BE)$ là phân giác ngoài của $\Delta ABC$.
Hoặc: Điểm $E$ nằm giữa $A, C$ khi $x_A < x_E < x_C$ hay $x_C < x_E < x_A$

Ta nhận $C(1;1)$

- Diện tích $\Delta ABC$ : $S=\dfrac{1}{2}BC. AH=\dfrac{1}{2}BC. d[A,(BC)]=\dfrac{49}{8}$