Viết phương trình đường thẳng AB sao cho khoảng cách từ điểm $M(0;1)$ đến đường thẳng AB bằng $\dfrac{16}{\sqrt{34}}$

Cho đồ thị hàm số $(C): y=x^3+6x^2+9x+1$; gọi A, B là 2 điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau đồng thời khoảng cách từ điểm $M(0;1)$ đến đường thẳng AB bằng $\dfrac{16}{\sqrt{34}}$. Viết phương trình đường thẳng AB.

Hướng dẫn

Ta có:  $y' = 3x^2+12x+9$
Gọi $k$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại A và B.
$f'(x)=k \Leftrightarrow 3x^2+12x+9=k \Leftrightarrow 3x^2+12x+9-k=0$
Để có 2 tiếp tuyến song song thì $\Delta > 0  \Leftrightarrow k > -3$

Ta có $y=x^3+6x^2+9x+1 \Leftrightarrow  3y= (3x^2+12x+9)(x+2)-6x-15$
Do A, B nằm trên (C) nên:
$\begin{cases}  3y_1= k(x_1+2)-6x_1-15 \\ 3y_2= k(x_2+2)-6x_2-15 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (k-6)x_1 -3y_1 +2k-15=0 \\ (k-6)x_2 -3y_2 +2k-15=0 \end{cases}$
Suy ra phương trình đường thẳng $(AB): (k-6)x-3y+2k-15=0$

Theo giả thiết: $d[M,(AB)]= \dfrac{16}{\sqrt{34}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{|2k-18|}{\sqrt{(k-6)^2+9}}= \dfrac{16}{\sqrt{34}} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} k=1 \\ k=\dfrac{21}{5} \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình đường thẳng (AB) là:  $\left[ \begin{matrix} y=-\dfrac{5}{3}x-\dfrac{13}{3} \\ y=-\dfrac{3}{5}x-\dfrac{11}{5} \end{matrix} \right.$