Đề thi học kỳ 2 trường Phổ thông năng khiếu

Đề thi học kỳ 2 trường Phổ thông năng khiếu

Bài 1: Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{x^3}{3}+x^2-3x+\dfrac{7}{3} \,\, (C)$
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến $(d_1), \, (d_2)$ của $(C)$ đi qua điểm $A(1;-2)$.
c) Tính diện tích hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đường cong $(C)$ và 2 tiếp tuyến $(d_1), \, (d_2)$.

Bài 2:
a) Giải phương trình $\dfrac{4^{3x}-3^{3x}}{4^x -3^x}=12^x +9^x +4^{x+1}-3$
b) Giải bất phương trình $\log_{9-x^2}\sqrt{2x+1} \ge \dfrac{1}{2}$

Bài 3:
a) Tính $I=\int_{e}^{e^2}x\ln^2 xdx$
b) Giải phương trình sau trong tập số phức: $z^4-6z^2+25=0$

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho các điểm $A(2;3;1), B(-1;2;0), C(1;1;-2), D(1;2;3)$.
a) Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với $AD$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ bằng $2\sqrt{6}$.
b) Viết phương trình đường thẳng $(d)$ qua điểm $D$ sao cho $(d) \perp AB$ và $(d)$ song song với mặt phẳng $(ABC)$.
c) Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm thuộc đường thẳng $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{2}$ và $A, B$ thuộc mặt cầu $(S)$.