Giải tam giác biết trung tuyến, phân giác trong, đường cao xuất phát từ 3 đỉnh

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường trung tuyến, phân giác trong, đường cao xuất phát từ các đỉnh A,B,C lần lượt là: $(AM): 7x−5y=0 \;\; (BD): x−2y−30=0 \;\; (CK): x−y+16=0$ . Tính diện tích tam giác ABC.

Ta có $\begin{cases} B \in (BD): B(2b+30,b)\\ C \in (CK): C(c,c+16) \end{cases}$

M là trung điểm của BC thì $M \left ( \dfrac{c+2b+30}{2},\dfrac{c+b+16}{2}\right )$
Do M thuộc AM nên : $9b+2c+130=0 \;\; (1)$

Gọi I là điểm đối xứng của C qua BD, ta có: $I \in (AB)$ (tính chất này vẫn đúng khi (BD) là phân giác ngoài, nên cuối bài ta phải thử lại)

Viết pt đường thẳng (CI), tìm giao điểm J của (CI) và (BD), lúc đó J là trung điểm CI.

Ta tìm được: $I \left( \dfrac{7c+124}{5};\dfrac{c−168}{5}\right)$

Vì $I \in (AB)$ nên $BI \perp CK$ suy ra: $15b−8c+194=0 \;\; (2)$

Giải (1) và (2): $\begin{cases}b=-14\\c=-2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}B(2;-14)\\C(-2;14)\end{cases}$
Viết pt đường thẳng (AB), tìm được giao điểm của (AB) và (AM): $A(-5;-7)$

* Kiểm tra (BD) có đúng là phân giác trong của tam giác ABC ?

* Tính diện tích tam giác ABC.