Đề thi tuyển vào lớp chất lượng cao ĐH Sư Phạm Hà Nội

Đề thi tuyển vào lớp chất lượng cao ĐH Sư Phạm Hà Nội Năm 2014
Môn toán 2
Thời gian làm bài 180 phút

Câu I. (2,0 điểm)
1) Tính giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm thực : $x\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=m(\sqrt{2-x}+\sqrt{1-x})$
2) Giải phương trình sau trong tập các số phức $\mathbb{C}$ : $x^3+6x^2+12x+7=0$

Câu II.( 3,0 điểm)
1) Tìm giới hạn $\lim_{n\rightarrow +\infty }\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}$ , $n$ dấu căn
2) Cho $f(x)=\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}.$ Chứng minh rằng :$\dfrac{5}{2} <\int\limits_{2}^{3}f(x)dx < \dfrac{9\sqrt{2}}{4 }$

Câu III. (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(1,2,3),B(-1,2,4)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+y+z=0.$ Tìm điểm $M$ thuộc $(P)$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất

Câu IV (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho Elip $(E): \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$ và đường thẳng $\Delta: x-y-9=0$
1) Tìm trên $E$ điểm $M$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $\Delta$ nhỏ nhất.
2) Một hình chữ nhật được gọi là ngoại tiếp $(E)$ nếu các cạnh của chúng đều tiếp xúc với $(E).$ Trong các hình chữ nhật ngoại tiếp $(E)$ , tìm hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất.

Câu V (1,0 điểm)
Cho tập $S=\begin{Bmatrix}1,2,3,...,19,20 \end{Bmatrix}.$ Có bao nhiêu cách chọn một bộ năm số (không kể thứ tự ) trong $S$ sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu $2$ số bất kỳ đều lớn hơn hoặc bằng $2$ ?

Câu VI (1,0 điểm)
Cho số nguyên dương $M>3.$ Giả sử $x_1,x_2,...,x_{2014}$ là các số nguyên dương sao cho $x_1.x_2.....x_{2014}=M.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S=x_{1}^3+x_{2}^3+...+x_{2014}^3$