Tìm k để $k_A + \dfrac{1}{k_B}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x+1} \,\, (C)$. Tìm hệ số góc a của đường thẳng d đi qua điểm $M(-1; 2)$, sao cho d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi $k_A , k_B$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A và B. Tìm các giá trị của k để $k_A + \dfrac{1}{k_B}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn

D = R
$y'=\dfrac{1}{(x+1)^2}$
Đường thẳng qua M có hệ số góc a là  $(d): y=ax+a+2$
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
$\dfrac{2x+1}{x+1}=ax+a+2\Leftrightarrow ax^2+2ax+a+1=0\,\, (1)$
 (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow$  (1) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow a < 0$
$x_A, x_B$ là nghiệm của (1): $\begin{cases}  x_A + x_B=-2\\ x_A. x_B=\frac{a+1}{a}\end{cases}$
suy ra $x_B=-2-x_A$
Ta có $T = k_A + \dfrac{1}{k_B} =  \dfrac{1}{(x_A +1)^2}+(x_B +1)^2= \dfrac{1}{(x_A +1)^2}+(-2-x_A +1)^2\\= \dfrac{1}{(x_A +1)^2}+(x_A +1)^2 \ge 2$
Đẳng thức xảy ra  $\Leftrightarrow (x_A +1)^4 =1 \Leftrightarrow x_A=0 \vee x_A=-2$
*$x_A=0 \Rightarrow A(0;1)$, do $A \in (d)  \Rightarrow  a=-1$
*$x_A=-2 \Rightarrow A(-2;3)$, do $A \in (d)  \Rightarrow  a=-1$

KL: $a = -1$

cách 2
 Từ (1): $a(x+1)^2=-1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{(x+1)^2}=-a$
 Ta có $T = k_A + \dfrac{1}{k_B} =  \dfrac{1}{(x_A +1)^2}+(x_B +1)^2= -a-\dfrac{1}{a}\ge 2$ ( do a < 0 )
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a^2=1 \Leftrightarrow a = -1$
KL