$log_2(4x^2-4x+9)+log_2 x. log_2 (4x) -2 =0$

Giải phương trình $log_2(4x^2-4x+9)+log_2 x. log_2 (4x) -2 =0$


Điều kiện : $x > 0$

$pt \Leftrightarrow log_{2}\left(x^2 - x + \frac{9}{4} \right) + log_{2}\left(x \right).\left(log_{2}4 + log_{2}x \right) = 0$

$\Leftrightarrow log_{2}\left(x^2 - x + \dfrac{9}{4} \right) + log_{2}x\left(log_{2}x + 2 \right) = 0$

$\Leftrightarrow log_{2}\left[\dfrac{1}{2}\left(x^2 - x + \dfrac{9}{4} \right) \right] + \left(log_{2}x + 1\right)^{2} = 0$

Mà   $\dfrac{1}{2}\left(x^2 - x + \dfrac{9}{4} \right) = \dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{1}{2} \right)^{2} + 1 \geq 1 \Rightarrow log_{2}\left[\dfrac{1}{2}\left(x^2 - x + \dfrac{9}{4} \right) \right] \geq 0$

Do đó:  $log_{2}\left[\dfrac{1}{2}\left(x^2 - x + \dfrac{9}{4} \right) \right] + \left(log_{2}x + 1\right)^{2} \geq 0$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = \dfrac{1}{2}$